ДЗИ по математика - МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА 29.08.2018 г.

1. Най-малко е числото:

\({\left({1 \over 5}\right)}^{-2}\)
\(\ 1,(3)\)
\(\sqrt[3]{(-8)^2}\)
\((0,5)^{-6}\)

2. При \(\ x > y > 0\) изразът \(\ 4\sqrt x - \sqrt y \over 2\sqrt[4]x - \sqrt[4]y\) е тъждествено равен на:

\(\ 2\sqrt x - \sqrt y\)
\(\ 2\sqrt[4]x + \sqrt[4]y\)

\(\sqrt[4]x + \sqrt[4]y\)
\(\ 2\sqrt x + \sqrt y\)

3. Броят на целите стойности на х, за които е дефиниран изразът \(\ {\sqrt{1-x} \over x^2 + 3x - 4} : {\sqrt{x+5} \over x}\), е:

\(\ 7\)
\(\ 3\)
\(\ 5\)
\(\ 4\)

4. Решенията на неравенството \({(x-2)}^2{(x+3)}^5(x-1) < 0\) са всички:

\(\ x\in(-\infty;-3) \cup (1;2) \cup (2;+\infty)\)
\(\ x\in(1;2)\)
\(\ x\in(-\infty;-3) \cup (1;2)\)
\(\ x\in(-3;1)\)

5. Стойността на израза \(\ A = log100 - log_{2}4\) е:

\(\ -1\)
\(\ 1\)
\(\ -2\)
\(\ 0\)

6. Множеството от решенията на уравнението \(\sqrt{4x^2 + 12x + 9} = x\) е:

\(\varnothing\)
\(\{3\}\)
\(\{1\}\)
\(\{-1;-3\}\)

7. На кое от посочените уравнения са корени числата \(\sqrt2\) и \(\sqrt5\)?
\(\ x^2 - (\sqrt2 + \sqrt5)x + \sqrt{10} = 0\)
\(\ x^2 + (\sqrt2 + \sqrt5)x + \sqrt{10} = 0\)
\(\ x^2 - (\sqrt2 + \sqrt5)x - \sqrt{10} = 0\)
\(\ x^2 - (\sqrt2 - \sqrt5)x - \sqrt{10} = 0\)

8. Ако \(\ a= cos60°\), \(\ b = sin60°\), \(\ c = tg60°\) и \(\ d =1\), то вярното твърдение е:

\(\ c < b < a < d\)
\(\ a < b < d < c\)
\(\ b < a < c < d\)
\(\ a < b < c < d\)

9. На фигурата \(\ MN \Vert AB, MN=10, MA=2\) и \(\ AB=15\). Дължината на АС е:

\(\ 6\)
\(\ 4\)
\(\ 10 \over 3\)
\(\ 5\)

10. Ако дължината на медианата към хипотенузата на правоъгълен триъгълник е \(\ 10 cm\) и дължините на катетите се отнасят тъй както \(\ 3:4\), то лицето на триъгълника е:

\(\ 12 cm^2\)
\(\ 24 cm^2\)
\(\ 96 cm^2\)
\(\ 48 cm^2\)

11. Най-голямата стойност на функцията \(\ y= -x^2 + 4x\) за \(\ x\in[1;4]\) е:
\(\ 4\)
\(\ 5\)
\(\ 3\)
\(\ 0\)

12. С коя от посочените формули за общия член \(\ a_{n}, n \in \mathbb{N}\), се задава числова редица, която е растяща геометрична прогресия?

\(\ 3.2^{-n}\)
\(\ 3n - 2\)
\(\ -3.2^{-n}\)
\(\ 3 - 2n\)

13. Дадена е числова редица с общ член \(\ a_{n} = {2n-1 \over n + 3}, n \in \mathbb{N}\). Стойността на \(\ a_{2}.a_{4}\) е:
\(\ 45 \over 77\)
\(\ 3 \over 5\)
\(\ 3 \over 11\)
\(\ 5 \over 11\)

14. Стойностите на функциите \(\ tgx\) и \(\ cosx\) имат еднакви знаци за всяко х от интервала:

\(\ x\in(180°;270°)\)
\(\ x\in(360°;450°)\)
\(\ x\in(90°;270°)\)
\(\ x\in(270°;450°)\)

15. Учениците от един клас трябва да изберат трима представители за ученическия съвет. По колко начина може да бъде направен този избор, ако общият брой на учениците в класа е \(\ 24\)?
\(\ 6072\)
\(\ 2024\)
\(\ 4048\)
\(\ 12 144\)

16. Към реда \(\ 2, 5, 7, 9, 17\) е добавено ново число така, че двата реда имат една и съща средноаритметична стойност. Медианата на новия ред е:

\(\ 8,5\)
\(\ 7\)
\(\ 8\)
\(\ 7,5\)

17. Точка М е от страната ВС на \( \triangle ABC\), \( \sphericalangle BAM = 30°\) и \( \sphericalangle CAM = 45°\). Ако \( AC = 0,4AB\), то отношението \( BM:MC\) е:

\( 5:3\)
\( 5:2\)
\( 5:\sqrt2\)
\( 5:2\sqrt2\)

18. Дължините на страните на триъгълник се отнасят както \( 5:7:8\). Градусната мярка на средния по големина ъгъл на триъгълника е:
\( 72°\)
\( 60°\)
\( 45°\)
\( 63°\)

19. Намерете лицето на трапец ABCD, за който \( \sphericalangle A = \sphericalangle D = 90°\), \( \sphericalangle B = 45°\), основата \( CD = 7 cm\), а диагоналът \( BD = 13 cm\).

\( 47,5 cm^2\)
\( 60 cm^2\)
\( 30 cm^2\)
\( 95 cm^2\)

20. Лицето на ромб е два пъти по-малко от лицето на квадрат със същия периметър. Градусната мярка на тъпия ъгъл на ромба е:
\( 150°\)
\( 120°\)
невъзможно да се определи
\( 135°\)

21. С помощта на цифрите \(\ 1, 3, 6, 7\) и \(\ 9\) са записани всички трицифрени числа с различни цифри. Каква е вероятността произволно избрано от тези числа да е по-малко от \(\ 980\)?

22. Даден е успоредник АВCD с дължини на страните \(\ AB = \sqrt2\), \( \sphericalangle BAC = 30°\) и \( \sphericalangle CAD = 45°\). Намерете сбора от квадратите на диагоналите на успоредникa.

Решенията на задачите по-долу запишете отделно в тетрадката си

Пресметнете стойността на израза \(\ A = sin^2\alpha cos^2\beta-sin^2\beta cos^2\alpha + cos^2\alpha\), ако \(\ cos\beta = {\sqrt5 \over 5}\).

Запишете наредените двойки числа, които са решения на системата:

Да се намери частното на крайна геометрична прогресия със седем члена, ако сборът на първите три члена е \(\ 26\), а на последните три члена е \(\ 2106\).

Решете уравнението \(\sqrt{9 + 8x} - \sqrt{2x - 1} = 4\).

Решете неравенството \({3 \over x^2-4} \ge {2 \over x^2 + x - 2} - {2 \over {(x-1)}^2}\).

В равнобедрения \( \triangle ABC\) \((AC = BC)\) точката О е център на вписаната в триъгълника окръжност. Разстоянието от точка О до АВ е \(\ 3 cm\), a \( OC = 5 cm\).

Намерете:

А) дължините на страните на \( \triangle ABC\);
Б) лицето на четириъгълника ABKC, където K е пресечната точка на лъча \(\ AO^{\rightarrow}\) с описаната около \( \triangle ABC\) окръжност.