ДЗИ по математика - МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА 23.05.2018 г.

1. Кое от посочените числа НЕ е цяло?

\((–8)^{1 \over 3}\)
\((0,5)^{-2}\)
\(\ 64^{1 \over 4}\)
\((–32)^{1 \over 5}\)

2. При \(\ a < b < 2a\) изразът \(\sqrt[3]{(a-b)^3} + \sqrt{(a-b)^2} + 2\vert b-2a\vert\) е тъждествено равен на:

\(\ 2b - 4a\)
\(\ 0\)
\(\ 4a - 2b\)
\(\ 6a - 4b\)

3. При \(\ x\neq\pm1\) изразът \(\ {x+1 \over x^2 -1} - {x \over x-1}\) е тъждествено равен на:

\(\ 1\)
\(\ 1 \over x-1\)
\(\ -1\)
\(\ 1 \over x^2 -1\)

4. Кое от изброените числа НЕ е решение на уравнението \(\ (x-1)(x-3)(x-5) + (5-x)(x-3)(x-1)(x+1) = 0\) ?
\(\ 1\)
\(\ -1\)
\(\ 5\)
\(\ 3\)

5. Стойността на израза \(\ 3^{4 \over 3} - 3^{4 \over 3}.3^{2 \over 3} - 3^{8 \over 3}:3^{4 \over 3}\) е:

\(\ 3\)
\(\ -9\)
\(\ 9\)
\(\ -3\)

6. Реалните корени на уравнението \(\ -2х^{4} - x^{2} + 1 = 0\) са:

\(\ \pm1;\pm{\sqrt2 \over 2}\)
\(\ \pm1\)
\(\ \pm{\sqrt2 \over 2}\)
\(\ 1;{\sqrt2 \over 2}\)

7. Ако \(\ x_{1}\) и \(\ x_{2}\) са корени на уравнението \(\ 4x^{2} - 7x + 1 = 0\), то кое от твърденията НЕ е вярно?

\(\ х_{1}x_{2} = -{1 \over 4}\)
\(\ {1 \over x_{1}} + {1 \over x_{2}} = 7\)
\(\ х_{1}x_{2} > 0\)
\(\ х_{1} + x_{2} > 0\)

8. Изразът \(\ M = (sin\alpha + cos\alpha)^{2} + (sin\alpha - cos\alpha)^{2}\) е тъждествено равен на:
\(\ 1\)
\(\ sin\alpha\)
\(\ -1\)
\(\ 2\)

9. В \( \triangle ABC\) е построена права, успоредна на AC, която пресича страните AВ и ВC съответно в точки P и Q. Ако \(\ BQ:QP = 5:4\) и \(\ BC = 15 cm\), намерете дължината на страната AC.
\(\ 18,75 cm\)
\(\ 9 cm\)
\(\ 15 cm\)
\(\ 12 cm\)

10. Окръжностите \(\ k(O;r=3)\) и \(\ k_{1}(O_{1};r_{1}=4)\) се допират външно. През точката О е построена допирателна ОТ към \(\ k_{1}\). Лицето на \( \triangle OO_{1}T\) е:

\(\ 3\sqrt10\)
\(\ 6\sqrt10\)
\(\ 4\sqrt33\)
\(\ 2\sqrt33\)

11. На кой интервал принадлежи абсцисата на върха на параболата \(\ y = { 1 \over 3}x^{2} + x - 6\)?

\(\ (-1;1,5)\)
\(\ (-\infty;-2)\)
\(\ (-6,75;-2)\)
\(\ (-\infty;-1)\)

12. Дадена е числова редица с общ член \(\ a_{n}={n-1 \over n+3}\), \(\ \forall n \in \mathbb{N}\). Стойността на \(\ a_{4}.a_{8}\) е:

\(\ 3 \over 7\)
\(\ 5 \over 11\)
\(\ 3 \over 11\)
\(\ 45 \over 77\)

13. Разликата на аритметична прогресия е \(\ 1 \over 2\). Намерете 22-рия член на редицата, ако вторият ù член е 2.
\(\ 13\)
\(\ 12,5\)
\(\ 12\)
\(\ 22\)

14. Стойността на израза \(\ sin{ 3\pi \over 2} - sin{ \pi \over 2}\) е равна на стойността на:
\(\ 2sin{ 3\pi \over 4} - 2sin{ 3\pi \over 2}\)
\(\ sin\pi\)
\(\ 2sin{ \pi \over 2}\)
\(\ 2sin{ 3\pi \over 2}\)

15. Ако от група ученици могат да се изберат двама по 45 начина, то колко ученици има в тази група?

\(\ 90\)
\(\ 20\)
\(\ 30\)
\(\ 10\)

16. Към статистическия ред \(\ 2,5,7,9,17\) е добавено ново число така, че двата реда да имат една и съща средноаритметична стойност. Медианата на новия ред е:
\(\ 7\)
\(\ 8,5\)
\(\ 8\)
\(\ 7,5\)

17. В \( \triangle ABC\) страната \(\ AB = 2\sqrt2 cm\), а дължината на радиуса на описаната около него окръжност е \(\ R = 2 cm\). Градусната мярка на
\(\sphericalangle АСВ\), ако той е най-големият ъгъл в триъгълника, е:

\(\ 135°\)
\(\ 120°\)
\(\ 45°\)
\(\ 90°\)

18. В успоредник дължините на по-малката страна и на по-малкия диагонал са съответно равни на \(\ 8 cm\) и \(\ 6 cm\), а ъгълът между тях е \(\ 60°\). Дължината на другия диагонал на успоредника е равна на:

\(\ 14 cm\)
\(\ 6\sqrt3 cm\)
\(\ 8 cm\)
\(\ 4\sqrt5 cm\)

19. Дължините на диагоналите на четириъгълник са \(\ \sqrt3 - 1cm\) и \(\ 2\sqrt2 cm\), а ъгълът между тях е \(\ 105°\). Лицето на четириъгълника е:

\(\ 1 cm^{2}\)
\(\ {1 \over 2} cm^{2}\)
\(\ 2 cm^{2}\)
\(\ {{\sqrt3 + 1} \over 2} cm^{2}\)

20. Равнобедрен трапец с остър ъгъл \(\ 30°\) е описан около окръжност. Ако височината му е равна на \(\ 10 cm\), то дължината на голямата основа е:

\(\ 20 + 10\sqrt3 cm\)
\(\ 40 - 10\sqrt3 cm\)
\(\ 20 cm\)
\(\ 20 - 10\sqrt3 cm\)

21. Пресметнете стойността на израза \(\ {\sqrt{{8+2\sqrt15}}(\sqrt10 - \sqrt6)\sqrt{{4-\sqrt15}}} \over \sqrt5 - \sqrt3\)

22. Намерете произведението от първия и третия член на числова редица с положителни членове, за която \( a _{1}^{2} + a _{1} - 6 = 0\) и \(\ a_{n}= 2a_{n-1} - 1\), \(\ \forall n \in \mathbb{N}\), \(\ n \geqslant 2\).

Решенията на задачите по-долу запишете отделно в тетрадката си

Намерете най-голямата стойност на функцията \( f(x) = x^2 - 7x + 6\) в интервала \([1;5]\)

От всички трицифрени числа, записани с различни четни цифри, чийто сбор е 12, е избрано едно число. Определете каква е вероятността това число да се дели на 15.

Периметърът на равнобедрен триъгълник е \(\ 18 cm\). Основата му е с \(\ 3 cm\) по-голяма от бедрото. Намерете дължината на радиуса на описаната около триъгълника окръжност.

Намерете най-голямото цяло отрицателно число и най-малкото цяло положително число, които са решения на неравенството \(\ {2-x \over x^{2} - x - 2} \leqslant {2-x \over x^{2} + x - 2}\).

Решете уравнението \(\ x^{2} + x + \sqrt{{x^{2} + x +1}} = 1\)

Дължините на страните на триъгълник, измерени в сантиметри, са последователни естествени числа.

а) Намерете дължините на страните и лицето на триъгълника, ако той е правоъгълен.
б) Намерете дължините на страните и лицето на триъгълника, ако той е тъпоъгълен.